في الرياضيات ، تكون العملية الثنائية تبادلية إذا كان تغيير ترتيب المعاملات لا يغير النتيجة. إنها خاصية أساسية للعديد من العمليات الثنائية ، وتعتمد عليها العديد من البراهين الرياضية. الأكثر شيوعًا كاسم الخاصية التي تقول شيئًا مثل "3 + 4 = 4 + 3" أو "2 5 = 5 2" ، يمكن أيضًا استخدام الخاصية في إعدادات أكثر تقدمًا. الاسم مطلوب لأن هناك عمليات ، مثل القسمة والطرح ، لا تحتوي عليه (على سبيل المثال ، "3 5 5 3") ؛ هذه العمليات ليست تبادلية ، ولذلك يشار إليها بالعمليات غير التبادلية. الفكرة القائلة بأن العمليات البسيطة ، مثل الضرب والإضافة للأرقام ، هي عمليات تبادلية كانت لسنوات عديدة مفترضة ضمنيًا. وهكذا ، لم يتم تسمية هذه الخاصية حتى القرن التاسع عشر ، عندما بدأت الرياضيات تصبح رسمية. توجد خاصية مقابلة للعلاقات الثنائية ؛ يقال أن العلاقة الثنائية متماثلة إذا كانت العلاقة تنطبق بغض النظر عن ترتيب معاملاتها ؛ على سبيل المثال ، المساواة متماثلة حيث إن كائنين رياضيين متساويين بغض النظر عن ترتيبهم.

كان السير ويليام روان هاميلتون LL.D ، DCL ، MRIA ، FRAS (3/4 أغسطس 1805 - 2 سبتمبر 1865) عالم رياضيات إيرلنديًا ، وأستاذًا في علم الفلك في أندروز في كلية ترينيتي في دبلن ، وعالم الفلك الملكي بأيرلندا في مرصد دونسينك. قدم مساهمات كبيرة في علم البصريات والميكانيكا الكلاسيكية والجبر المجرد. كان عمله ذا أهمية للفيزياء النظرية ، ولا سيما إعادة صياغته لميكانيكا نيوتن ، والتي تسمى الآن ميكانيكا هاملتون. إنها الآن مركزية لكل من الكهرومغناطيسية وميكانيكا الكم. في الرياضيات البحتة ، اشتهر بأنه مخترع المربعات.

تضمنت مهنة هاملتون العلمية دراسة البصريات الهندسية ، وتكييف الأساليب الديناميكية في الأنظمة البصرية ، وتطوير نظريات وظائف الزوجين الجبرية المترافقة (التي يتم فيها إنشاء الأعداد المركبة كأزواج مرتبة من الأعداد الحقيقية) ، وإمكانية حل المعادلات متعددة الحدود والحل الخماسي العام متعدد الحدود. بواسطة الراديكاليين ، تحليل الدوال المتقلبة (والأفكار من تحليل فورييه) ، المشغلين الخطيين على الكواتيرنات وإثبات النتيجة للمشغلين الخطيين في فضاء الكواتيرنات (وهي حالة خاصة للنظرية العامة التي تُعرف اليوم باسم كايلي - نظرية هاميلتون). اخترع هاميلتون أيضًا "حساب التفاضل والتكامل الإيكوسيان" ، والذي استخدمه لفحص مسارات الحواف المغلقة على اثني عشر وجهًا والتي تزور كل قمة مرة واحدة بالضبط.