En el campo matemático de la topología geométrica, la conjetura de Poincar (Reino Unido: , EE. UU.: , Francés: [pwkae]), o el teorema de Perelman, es un teorema sobre la caracterización de la 3-esfera, que es la hiperesfera que limita la bola unitaria. en el espacio de cuatro dimensiones.

Conjeturado originalmente por Henri Poincar en 1904, el teorema se refiere a espacios que localmente parecen espacios tridimensionales ordinarios pero que tienen una extensión finita. Poincar planteó la hipótesis de que si dicho espacio tiene la propiedad adicional de que cada bucle en el espacio se puede apretar continuamente hasta un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional. Los intentos de resolver la conjetura impulsaron un gran progreso en el campo de la topología geométrica durante el siglo XX.

La prueba final se basó en el programa de Richard S. Hamilton de usar el flujo de Ricci para intentar resolver el problema. Al desarrollar una serie de nuevas técnicas y resultados en la teoría del flujo de Ricci, Grigori Perelman pudo modificar y completar el programa de Hamilton. En preprints inéditos de arXiv lanzados en 2002 y 2003, Perelman presentó su trabajo que prueba la conjetura de Poincar, junto con la conjetura de geometrización más poderosa de William Thurston. Durante los siguientes años, varios matemáticos estudiaron sus artículos y produjeron formulaciones detalladas de su trabajo.

El trabajo de Hamilton y Perelman sobre la conjetura es ampliamente reconocido como un hito de la investigación matemática. Hamilton fue reconocido con el Premio Shaw y el Premio Leroy P. Steele por Contribución Seminal a la Investigación. La revista Science marcó la prueba de Perelman de la conjetura de Poincar como el Avance científico del año en 2006. El Clay Mathematics Institute, habiendo incluido la conjetura de Poincar en su conocida lista de Problemas del Premio del Milenio, ofreció a Perelman su premio de 1 millón de dólares por la resolución de la conjetura. Rechazó el premio, diciendo que la contribución de Hamilton había sido igual a la suya.

Grigori Yakovlevich PERELMAN (Ruso: Григорий яковлевич Перельман, IPA: [ɡRʲɪɡorʲɪj Jakəvlʲɪvʲɪtɕ PʲɪRʲɪlʲman] (Escucha); Nacido el 13 de junio de 1966) es un matemático ruso que es conocido por sus contribuciones a los campos del análisis geométrico, la geometría de Riemannian y la topología geométrica.

En la década de 1990, en parte en colaboración con Yuri Burago, Mikhael Gromov y Anton Petrunin, realizó importantes contribuciones al estudio de los espacios de Alexandrov. En 1994, demostró la conjetura del alma en la geometría de Riemann, que había sido un problema abierto durante los 20 años anteriores. En 2002 y 2003, desarrolló nuevas técnicas en el análisis del flujo de Ricci, proporcionando así un bosquejo detallado de una prueba de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización de Thurston, la primera de las cuales había sido un famoso problema abierto en matemáticas durante el siglo pasado. Varios autores completaron y explicaron los detalles completos del trabajo de Perelman durante los años siguientes.

En agosto de 2006, a Perelman se le ofreció la Medalla Fields por "sus contribuciones a la geometría y sus ideas revolucionarias sobre la estructura analítica y geométrica del flujo de Ricci", pero rechazó el premio y afirmó: "No estoy interesado en el dinero o la fama. ; No quiero estar en exhibición como un animal en un zoológico". El 22 de diciembre de 2006, la revista científica Science reconoció la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré como el "Avance científico del año", el primer reconocimiento de este tipo en el área de las matemáticas. El 18 de marzo de 2010, se anunció que había cumplido con los criterios. para recibir el primer Premio Clay Millennium por la resolución de la conjetura de Poincaré. El 1 de julio de 2010, rechazó el premio de un millón de dólares, diciendo que consideraba injusta la decisión de la junta directiva del Clay Institute, ya que su contribución a la resolución de la conjetura de Poincaré no fue mayor que la de Richard S. Hamilton. , el matemático que fue pionero en el flujo de Ricci en parte con el objetivo de atacar la conjetura. Anteriormente había rechazado el prestigioso premio de la European Mathematical Society en 1996.