En matemáticas, una operación binaria es conmutativa si cambiar el orden de los operandos no cambia el resultado. Es una propiedad fundamental de muchas operaciones binarias y muchas demostraciones matemáticas dependen de ella. Más familiar como el nombre de la propiedad que dice algo así como "3 + 4 = 4 + 3" o "2 5 = 5 2", la propiedad también se puede usar en configuraciones más avanzadas. El nombre es necesario porque hay operaciones, como la división y la resta, que no lo tienen (por ejemplo, "3 5 5 3"); tales operaciones no son conmutativas, por lo que se denominan operaciones no conmutativas. Durante muchos años se asumió implícitamente la idea de que las operaciones simples, como la multiplicación y la suma de números, son conmutativas. Así, esta propiedad no recibió nombre hasta el siglo XIX, cuando las matemáticas comenzaron a formalizarse. Existe una propiedad correspondiente para las relaciones binarias; se dice que una relación binaria es simétrica si la relación se aplica independientemente del orden de sus operandos; por ejemplo, la igualdad es simétrica ya que dos objetos matemáticos iguales son iguales independientemente de su orden.

Sir William Rowan Hamilton LL.D, DCL, MRIA, FRAS (3/4 de agosto de 1805 - 2 de septiembre de 1865) fue un matemático irlandés, profesor Andrews de astronomía en el Trinity College de Dublín y astrónomo real de Irlanda en el Observatorio de Dunsink. Hizo importantes contribuciones a la óptica, la mecánica clásica y el álgebra abstracta. Su trabajo fue de importancia para la física teórica, particularmente su reformulación de la mecánica newtoniana, ahora llamada mecánica hamiltoniana. Ahora es fundamental tanto para el electromagnetismo como para la mecánica cuántica. En matemáticas puras, es mejor conocido como el inventor de los cuaterniones.

La carrera científica de Hamilton incluyó el estudio de la óptica geométrica, la adaptación de métodos dinámicos en sistemas ópticos, el desarrollo de teorías de funciones de pares algebraicas conjugadas (en las que los números complejos se construyen como pares ordenados de números reales), la resolución de ecuaciones polinómicas y la resolución general de polinomios quínticos. por radicales, el análisis sobre Funciones Fluctuantes (y las ideas del análisis de Fourier), operadores lineales sobre cuaterniones y demostrando un resultado para operadores lineales sobre el espacio de cuaterniones (que es un caso especial del teorema general que hoy se conoce como el Teorema de Cayley –Teorema de Hamilton). Hamilton también inventó el "cálculo icosiano", que usó para investigar caminos de borde cerrado en un dodecaedro que visitan cada vértice exactamente una vez.