Dans le domaine mathématique de la topologie géométrique, la conjecture de Poincar (UK : , US : , French : [pwkae]), ou théorème de Perelman, est un théorème sur la caractérisation de la 3-sphère, qui est l'hypersphère qui délimite la boule unité dans un espace à quatre dimensions.

Conjecturé à l'origine par Henri Poincar en 1904, le théorème concerne des espaces qui ressemblent localement à l'espace tridimensionnel ordinaire mais qui sont d'étendue finie. Poincar a émis l'hypothèse que si un tel espace a la propriété supplémentaire que chaque boucle de l'espace peut être continuellement resserrée en un point, alors il s'agit nécessairement d'une sphère tridimensionnelle. Les tentatives pour résoudre la conjecture ont conduit à de nombreux progrès dans le domaine de la topologie géométrique au cours du XXe siècle.

La preuve éventuelle s'appuyait sur le programme de Richard S. Hamilton consistant à utiliser le flux de Ricci pour tenter de résoudre le problème. En développant un certain nombre de nouvelles techniques et résultats dans la théorie du flux de Ricci, Grigori Perelman a pu modifier et compléter le programme de Hamilton. Dans des prépublications arXiv non publiées publiées en 2002 et 2003, Perelman a présenté son travail prouvant la conjecture de Poincar, ainsi que la conjecture de géométrisation plus puissante de William Thurston. Au cours des années suivantes, plusieurs mathématiciens ont étudié ses articles et produit des formulations détaillées de son travail.

Le travail de Hamilton et Perelman sur la conjecture est largement reconnu comme une étape importante de la recherche mathématique. Hamilton a reçu le prix Shaw et le prix Leroy P. Steele pour sa contribution séminale à la recherche. La revue Science a désigné la preuve de Perelman de la conjecture de Poincar comme la percée scientifique de l'année en 2006. Le Clay Mathematics Institute , après avoir inclus la conjecture de Poincar dans sa liste bien connue des problèmes du millénaire, a offert à Perelman son prix de 1 million de dollars américains pour le résolution de la conjecture. Il a refusé le prix, affirmant que la contribution de Hamilton avait été égale à la sienne.

Grigori Yakovlevich Perelman (russe: Григорий яковлевич перельман, IPA: [ɡRʲɪɡorʲɪj Jakəvlʲɪvʲɪtɕvlʲɪvʲɪtɕ pʲɪrʲɪlʲman] (Écouter) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute) (écoute); le 13 juin 1966) est un mathématicien russe connu pour ses contributions aux domaines de l'analyse géométrique, de la géométrie riemannienne et de la topologie géométrique.

Dans les années 1990, en partie en collaboration avec Yuri Burago, Mikhael Gromov et Anton Petrunin, il a apporté des contributions influentes à l'étude des espaces d'Alexandrov. En 1994, il a prouvé la conjecture de l'âme en géométrie riemannienne, qui avait été un problème ouvert pendant les 20 années précédentes. En 2002 et 2003, il a développé de nouvelles techniques d'analyse du flux de Ricci, fournissant ainsi une esquisse détaillée d'une preuve de la conjecture de Poincaré et de la conjecture de géométrisation de Thurston, dont la première était un célèbre problème ouvert en mathématiques depuis un siècle. Les détails complets du travail de Perelman ont été remplis et expliqués par divers auteurs au cours des années suivantes.

En août 2006, Perelman s'est vu offrir la médaille Fields pour «ses contributions à la géométrie et ses idées révolutionnaires sur la structure analytique et géométrique du flux de Ricci», mais il a décliné le prix en déclarant: «Je ne suis pas intéressé par l'argent ou la renommée ; Je ne veux pas être exhibé comme un animal dans un zoo." Le 22 décembre 2006, la revue scientifique Science a reconnu la preuve de Perelman de la conjecture de Poincaré comme la "percée scientifique de l'année", la première reconnaissance de ce type dans le domaine des mathématiques. Le 18 mars 2010, il a été annoncé qu'il avait satisfait aux critères pour recevoir le premier Clay Millennium Prize pour la résolution de la conjecture de Poincaré. Le 1er juillet 2010, il a rejeté le prix d'un million de dollars, affirmant qu'il considérait la décision du conseil d'administration du Clay Institute comme injuste, en ce que sa contribution à la résolution de la conjecture de Poincaré n'était pas supérieure à celle de Richard S. Hamilton , le mathématicien qui a lancé le flot de Ricci en partie dans le but d'attaquer la conjecture. Il avait auparavant rejeté le prestigieux prix de la Société mathématique européenne en 1996.