En mathématiques, une opération binaire est commutative si le fait de changer l'ordre des opérandes ne change pas le résultat. C'est une propriété fondamentale de nombreuses opérations binaires, et de nombreuses preuves mathématiques en dépendent. Plus connue sous le nom de la propriété qui dit quelque chose comme "3 + 4 = 4 + 3" ou "2 5 = 5 2", la propriété peut également être utilisée dans des paramètres plus avancés. Le nom est nécessaire car certaines opérations, telles que la division et la soustraction, ne l'ont pas (par exemple, "3 5 5 3"); ces opérations ne sont pas commutatives et sont donc appelées opérations non commutatives. L'idée que des opérations simples, telles que la multiplication et l'addition de nombres, sont commutatives a été pendant de nombreuses années implicitement assumée. Ainsi, cette propriété n'a été nommée qu'au XIXe siècle, lorsque les mathématiques ont commencé à se formaliser. Une propriété correspondante existe pour les relations binaires ; une relation binaire est dite symétrique si la relation s'applique quel que soit l'ordre de ses opérandes ; par exemple, l'égalité est symétrique car deux objets mathématiques égaux sont égaux quel que soit leur ordre.

Sir William Rowan Hamilton LL.D, DCL, MRIA, FRAS (3/4 août 1805 - 2 septembre 1865) était un mathématicien irlandais, professeur Andrews d'astronomie au Trinity College de Dublin et astronome royal d'Irlande à l'observatoire Dunsink. Il a apporté des contributions majeures à l'optique, à la mécanique classique et à l'algèbre abstraite. Son travail était important pour la physique théorique, en particulier sa reformulation de la mécanique newtonienne, maintenant appelée mécanique hamiltonienne. Elle est aujourd'hui au cœur de l'électromagnétisme et de la mécanique quantique. En mathématiques pures, il est surtout connu comme l'inventeur des quaternions.

La carrière scientifique d'Hamilton comprenait l'étude de l'optique géométrique, l'adaptation des méthodes dynamiques dans les systèmes optiques, le développement de théories des fonctions de couple algébriques conjuguées (dans lesquelles les nombres complexes sont construits comme des paires ordonnées de nombres réels), la solvabilité des équations polynomiales et le polynôme général quintique résoluble. par radicaux, l'analyse sur les fonctions fluctuantes (et les idées de l'analyse de Fourier), les opérateurs linéaires sur les quaternions et la démonstration d'un résultat pour les opérateurs linéaires sur l'espace des quaternions (qui est un cas particulier du théorème général aujourd'hui connu sous le nom de Cayley –Théorème de Hamilton). Hamilton a également inventé le «calcul icosien», qu'il a utilisé pour étudier les chemins d'arêtes fermées sur un dodécaèdre qui visitent chaque sommet exactement une fois.