No campo matemático da topologia geométrica, a conjectura de Poincar (UK: , US: , French: [pwkae]), ou teorema de Perelman, é um teorema sobre a caracterização da 3-esfera, que é a hiperesfera que delimita a bola unitária no espaço quadridimensional.

Originalmente conjecturado por Henri Poincar em 1904, o teorema diz respeito a espaços que se parecem localmente com o espaço tridimensional comum, mas que são finitos em extensão. Poincar levantou a hipótese de que, se tal espaço tem a propriedade adicional de que cada laço no espaço pode ser continuamente apertado a um ponto, então é necessariamente uma esfera tridimensional. Tentativas de resolver a conjectura conduziram muito progresso no campo da topologia geométrica durante o século 20.

A prova final foi construída sobre o programa de Richard S. Hamilton de usar o fluxo de Ricci para tentar resolver o problema. Ao desenvolver uma série de novas técnicas e resultados na teoria do fluxo de Ricci, Grigori Perelman foi capaz de modificar e completar o programa de Hamilton. Em preprints inéditos do arXiv lançados em 2002 e 2003, Perelman apresentou seu trabalho provando a conjectura de Poincar, juntamente com a mais poderosa conjectura de geometrização de William Thurston. Ao longo dos próximos anos, vários matemáticos estudaram seus trabalhos e produziram formulações detalhadas de seu trabalho.

O trabalho de Hamilton e Perelman sobre a conjectura é amplamente reconhecido como um marco da pesquisa matemática. Hamilton foi reconhecido com o Prêmio Shaw e o Prêmio Leroy P. Steele por Contribuição Seminal à Pesquisa. A revista Science marcou a prova de Perelman da conjectura de Poincar como a descoberta científica do ano em 2006. O Clay Mathematics Institute, tendo incluído a conjectura de Poincar em sua conhecida lista de problemas do Prêmio do Milênio, ofereceu a Perelman seu prêmio de US$ 1 milhão pela resolução da conjectura. Ele recusou o prêmio, dizendo que a contribuição de Hamilton foi igual à sua.

Grigori Yakovlevich Perelman (Russo: Григорий яковлевич пековлевич перельман, ipa: [ɡrʲɪɡorʲɪj jakəvlʲɪvʲɪtɕ pʲɪrʲɪlʲman] (escuta); nascido em 13 de junho de 1966) é um matemático russo que é conhecido por suas contribuições para as áreas de análise geométrica, geometria riomanniana e topologia geométrica.

Na década de 1990, em parte em colaboração com Yuri Burago, Mikhael Gromov e Anton Petrunin, ele fez contribuições influentes para o estudo dos espaços de Alexandrov. Em 1994, ele provou a conjectura da alma na geometria riemanniana, que havia sido um problema em aberto nos 20 anos anteriores. Em 2002 e 2003, ele desenvolveu novas técnicas na análise do fluxo de Ricci, fornecendo assim um esboço detalhado de uma prova da conjectura de Poincaré e da conjectura de geometrização de Thurston, a primeira das quais tinha sido um famoso problema aberto em matemática no século passado. Os detalhes completos do trabalho de Perelman foram preenchidos e explicados por vários autores ao longo dos anos seguintes.

Em agosto de 2006, Perelman recebeu a Medalha Fields por "suas contribuições para a geometria e seus insights revolucionários sobre a estrutura analítica e geométrica do fluxo de Ricci", mas ele recusou o prêmio, afirmando: "Não estou interessado em dinheiro ou fama ; Eu não quero ser exibido como um animal em um zoológico." Em 22 de dezembro de 2006, a revista científica Science reconheceu a prova de Perelman da conjectura de Poincaré como a "Descoberta do Ano" científica, o primeiro reconhecimento desse tipo na área de matemática. para receber o primeiro Clay Millennium Prize para a resolução da conjectura de Poincaré. Em 1º de julho de 2010, ele rejeitou o prêmio de um milhão de dólares, dizendo que considerava injusta a decisão da diretoria do Clay Institute, pois sua contribuição para a solução da conjectura de Poincaré não foi maior que a de Richard S. Hamilton , o matemático que foi pioneiro no fluxo de Ricci em parte com o objetivo de atacar a conjectura. Ele já havia rejeitado o prestigioso prêmio da European Mathematical Society em 1996.