Em matemática, uma integral atribui números a funções de uma maneira que descreve deslocamento, área, volume e outros conceitos que surgem da combinação de dados infinitesimais. O processo de encontrar integrais é chamado de integração. Juntamente com a diferenciação, a integração é uma operação fundamental e essencial do cálculo e serve como ferramenta para resolver problemas de matemática e física envolvendo a área de uma forma arbitrária, o comprimento de uma curva e o volume de um sólido, entre outros.

As integrais enumeradas aqui são aquelas denominadas integrais definidas, que podem ser interpretadas como a área sinalizada da região no plano que é limitada pelo gráfico de uma dada função entre dois pontos na reta real. Convencionalmente, as áreas acima do eixo horizontal do plano são positivas enquanto as áreas abaixo são negativas. Integrais também se referem ao conceito de antiderivada, uma função cuja derivada é a função dada. Neste caso, eles são chamados de integrais indefinidas. O teorema fundamental do cálculo relaciona integrais definidas com diferenciação e fornece um método para calcular a integral definida de uma função quando sua antiderivada é conhecida.

Embora os métodos de cálculo de áreas e volumes datassem da matemática grega antiga, os princípios de integração foram formulados independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz no final do século XVII, que pensavam na área sob uma curva como uma soma infinita de retângulos de largura infinitesimal . Bernhard Riemann mais tarde deu uma definição rigorosa de integrais, que é baseada em um procedimento de limitação que aproxima a área de uma região curvilínea quebrando a região em lajes verticais infinitesimalmente finas. No início do século 20, Henri Lebesgue generalizou a formulação de Riemann ao introduzir o que hoje é chamado de integral de Lebesgue; é mais robusto que o de Riemann no sentido de que uma classe mais ampla de funções é integrável a Lebesgue.

As integrais podem ser generalizadas dependendo do tipo de função, bem como do domínio sobre o qual a integração é realizada. Por exemplo, uma integral de linha é definida para funções de duas ou mais variáveis, e o intervalo de integração é substituído por uma curva conectando as duas extremidades do intervalo. Em uma integral de superfície, a curva é substituída por um pedaço de uma superfície no espaço tridimensional.

Gottfried Wilhelm (von) Leibniz (1 de julho de 1646 [OS 21 de junho] - 14 de novembro de 1716) foi um polímata alemão ativo como matemático, filósofo, cientista e diplomata. Ele é uma figura proeminente tanto na história da filosofia quanto na história da matemática. Ele escreveu obras sobre filosofia, teologia, ética, política, direito, história e filologia. Leibniz também fez grandes contribuições para a física e a tecnologia e antecipou noções que surgiram muito mais tarde na teoria da probabilidade, biologia, medicina, geologia, psicologia, linguística e ciência da computação. Além disso, ele contribuiu para o campo da biblioteconomia: enquanto servia como superintendente da biblioteca Wolfenbüttel na Alemanha, ele concebeu um sistema de catalogação que teria servido de guia para muitas das maiores bibliotecas da Europa. As contribuições de Leibniz para essa vasta gama de assuntos foram espalhadas em vários periódicos eruditos, em dezenas de milhares de cartas e em manuscritos inéditos. Escreveu em várias línguas, principalmente em latim, francês e alemão, mas também em inglês, italiano e holandês. Como filósofo, foi um dos maiores representantes do racionalismo e idealismo do século XVII. Como matemático, sua maior conquista foi o desenvolvimento das principais ideias do cálculo diferencial e integral, independentemente dos desenvolvimentos contemporâneos de Isaac Newton. Trabalhos matemáticos têm favorecido consistentemente a notação de Leibniz como a expressão convencional do cálculo. No entanto, foi somente no século 20 que a lei da continuidade e a lei transcendental da homogeneidade de Leibniz encontraram uma formulação matemática consistente por meio de análises não padronizadas. Ele também foi um pioneiro no campo das calculadoras mecânicas. Enquanto trabalhava na adição de multiplicação e divisão automáticas à calculadora de Pascal, ele foi o primeiro a descrever uma calculadora de cata-vento em 1685 e inventou a roda de Leibniz, usada no aritmômetro, a primeira calculadora mecânica produzida em massa. Ele também refinou o sistema numérico binário, que é a base de quase todos os computadores digitais (eletrônicos, de estado sólido, lógica discreta), incluindo a arquitetura de Von Neumann, que é o paradigma de projeto padrão, ou "arquitetura de computador", seguido do segunda metade do século 20 e no século 21. Leibniz foi chamado de "fundador da ciência da computação". Em filosofia e teologia, Leibniz é mais conhecido por seu otimismo, ou seja, sua conclusão de que nosso mundo é, em um sentido qualificado, o melhor mundo possível que Deus poderia ter criado, uma visão às vezes satirizado por outros pensadores, como Voltaire em sua novela satírica Cândido. Leibniz, junto com René Descartes e Baruch Spinoza, foi um dos três grandes racionalistas modernos. Sua filosofia também assimila elementos da tradição escolástica, notadamente a suposição de que algum conhecimento substantivo da realidade pode ser alcançado pelo raciocínio a partir de primeiros princípios ou definições anteriores. A obra de Leibniz antecipou a lógica moderna e ainda influencia a filosofia analítica contemporânea, como o uso adotado do termo "mundo possível" para definir noções modais.