Em matemática, uma operação binária é comutativa se a alteração da ordem dos operandos não altera o resultado. É uma propriedade fundamental de muitas operações binárias, e muitas provas matemáticas dependem dela. Mais familiar como o nome da propriedade que diz algo como "3 + 4 = 4 + 3" ou "2 5 = 5 2", a propriedade também pode ser usada em configurações mais avançadas. O nome é necessário porque existem operações, como divisão e subtração, que não o possuem (por exemplo, "3 5 5 3"); tais operações não são comutativas e, portanto, são chamadas de operações não comutativas. A ideia de que operações simples, como a multiplicação e a adição de números, são comutativas foi por muitos anos assumida implicitamente. Assim, esta propriedade só foi nomeada no século XIX, quando a matemática começou a se formalizar. Existe uma propriedade correspondente para relações binárias; uma relação binária é dita simétrica se a relação se aplica independentemente da ordem de seus operandos; por exemplo, a igualdade é simétrica, pois dois objetos matemáticos iguais são iguais, independentemente de sua ordem.

Sir William Rowan Hamilton LL.D, DCL, MRIA, FRAS (3/4 de agosto de 1805 - 2 de setembro de 1865) foi um matemático irlandês, professor de astronomia Andrews no Trinity College Dublin e astrônomo real da Irlanda no Observatório de Dunsink. Ele fez grandes contribuições para a óptica, mecânica clássica e álgebra abstrata. Seu trabalho foi importante para a física teórica, particularmente sua reformulação da mecânica newtoniana, agora chamada de mecânica hamiltoniana. Agora é central tanto para o eletromagnetismo quanto para a mecânica quântica. Em matemática pura, ele é mais conhecido como o inventor dos quatérnios.

A carreira científica de Hamilton incluiu o estudo de óptica geométrica, adaptação de métodos dinâmicos em sistemas ópticos, desenvolvimento de teorias de funções de pares algébricos conjugados (em que números complexos são construídos como pares ordenados de números reais), solubilidade de equações polinomiais e polinômios quânticos gerais solúveis por radicais, a análise sobre Funções Flutuantes (e as idéias da análise de Fourier), operadores lineares sobre quatérnios e provando um resultado para operadores lineares sobre o espaço de quatérnios (que é um caso especial do teorema geral que hoje é conhecido como Cayley –Teorema de Hamilton). Hamilton também inventou o "cálculo icosiano", que ele usou para investigar caminhos de borda fechada em um dodecaedro que visita cada vértice exatamente uma vez.