威廉·罗文·汉密尔顿爵士提出了四元数的想法，这是复数的非交换扩展。

在数学中，如果改变操作数的顺序不会改变结果，则二元运算是可交换的。它是许多二元运算的基本属性，许多数学证明都依赖于它。最熟悉的属性名称类似于“3 + 4 = 4 + 3”或“2 5 = 5 2”，该属性也可用于更高级的设置。该名称是必需的，因为有些运算（例如除法和减法）没有它（例如，“3 5 5 3”）；这样的操作不是可交换的，因此被称为非交换操作。简单的运算，例如数字的乘法和加法，是可交换的，这种想法多年来一直是隐含的假设。因此，直到 19 世纪数学开始正式化时，这个属性才被命名。二元关系存在相应的性质；如果关系适用而不管其操作数的顺序如何，则称二元关系是对称的；例如，相等是对称的，因为两个相等的数学对象是相等的，而不管它们的顺序如何。

威廉·罗文·汉密尔顿爵士，法学博士，DCL，MRIA，FRAS（1805 年 8 月 3 日至 4 日 - 1865 年 9 月 2 日）是爱尔兰数学家、都柏林三一学院天文学安德鲁斯教授和邓辛克天文台的爱尔兰皇家天文学家。他对光学、经典力学和抽象代数做出了重大贡献。他的工作对理论物理学很重要，特别是他对牛顿力学的重新表述，现在称为哈密顿力学。它现在是电磁学和量子力学的核心。在纯数学中，他最为人所知的是四元数的发明者。

汉密尔顿的科学生涯包括几何光学研究、光学系统中动态方法的应用、共轭代数耦合函数理论的发展（其中复数被构造为实数的有序对）、多项式方程的可解性和一般五次多项式可解通过根式，对波动函数的分析（以及傅里叶分析的思想），四元数上的线性算子，并证明四元数空间上的线性算子的结果（这是今天被称为凯莱的一般定理的一个特例——汉密尔顿定理）。汉密尔顿还发明了“icosian 演算”，他用它来研究十二面体上的闭合边路径，该路径恰好访问每个顶点一次。